Η δομή του συνόλου των μιγαδικών αριθμών.

Από μαθητής ακόμη, όταν διάβαζα ή έλυνα διάφορες ασκήσεις πάνω στους μιγαδικούς μου δημιουργούνταν διάφορες απορίες. Για παράδειγμα στο σχολικό βιβλίο και στα φροντιστηριακά βοηθήματα εφαρμοζόταν η ισοδυναμία zw=0 αν και μόνο αν z=0 ή w=0, χωρίς απόδειξη. Είναι μια ιδιότητα που γνώριζα ότι ίσχυε στο σύνολο των πραγματικών. Από την άλλη στο σύνολο των μιγαδικών δεν ισχύε η ισοδυναμία α²+β²=0 αν και μόνο αν α=0 και β=0. Τα ερωτήματα που μου δημιουργούνταν ήταν 2:

a) Ποιες ιδιότητες που ισχύουν στο σύνολο των πραγματικών «μεταφέρονται» και στο σύνολο των μιγαδικών;

b) Ποιες από τις γνωστές ιδιότητες που «μεταφέρονται» από το σύνολο των πραγματικών στο σύνολο των μιγαδικών πρέπει να αποδεικνύονται;

Με το άρθρο που παραθέτω (κάνετε κλικ εδώ) προσπαθώ να ρίξω λίγο «φως» στις απορίες αυτές, μελετώντας λίγο αυστηρότερα από το σύνηθες σχολικό πνεύμα τη δομή του συνόλου των μιγαδικών αριθμών.